“常见的数量关系”教学案例与反思

黄梅县教学研究室   陈  颖

全日制义务教育《数学课程标准》（实验稿）明确指出：数学教学是数学活动的教学，“教师要充分利用学生的生活经验，设计生动有趣、直观形象的数学教学活动……让学生在生活具体的情境中理解和认识数学知识。”因此，数学教师要认真领会《标准》的精神实质，创造性地执行现有的教材，从学生的生活入手设计教学过程，让学生在活动中学习数学。笔者就从如下的教学案例中谈谈自己的认识。

一、案例：人教版六年制小学数学第六册第26页“乘法应用题和常见的数量关系”

     课题：单价、数量和总价

教学片断实录：

1、铺垫准备

师：同学们，前几天我发给了大家一张“我喜爱的物品调查表”，大家都调查了吗？

生：调查了（齐声回答）

师：下面我就请一些小朋友说说自己最喜爱的是哪些物品。

（教师在各组中都抽了几名学生说，教室里的学生坐姿各异：站着的、坐着的，都是把面对着讲话的学生，有的还边听边举着手。）

生：我最喜欢吃巧克力。（师：哎呀，你还真会吃，巧克力可真是好东西。）

生：我最喜欢玩四驱车。

生：我最喜欢喝太子奶。

生：我最喜欢喝鲜牛奶，妈妈说常喝牛奶可以使我长得更高更聪明。（师：还真是这回事。）

生：我最喜欢吃汉堡包。

生：我最喜欢吃苹果和蔬菜，多吃蔬菜能补充维生素。（师：你真不错，还懂得营养学知识。）

我喜欢吃香蕉、我喜欢吃水蜜桃……。同学们你一句我一句地喊着。

（点评：民主的课堂气氛为三年级的小学生回归生活的本原提供了氛围。没有民主的平等的师生关系，学生是不敢在课堂上谈那么多吃的。）

2、引导探索 自主构建

师：好！大家喜欢的东西真多，尤其是喜欢吃的东西更多，还很高档呢。下面我来看看大家是否真的对自己喜爱的物品作了调查，请拿出你的调查表，小组内学生相互看一看同伴的表中填写了一些什么？

学生纷纷拿着自己的调查表参与到小组中与同伴一起交流，教师巡视查看各组学生的调查表，并不时地夸奖一些学生的作品，然后在黑板上贴出一张放大的空白表格。（见表如下）向学生提出如下问题：

师：同学们，请你根据自己所填写的调查表，在你表中选一项出来告诉老师，让我也把上面的这张表填写好，可以吗？（生齐声回答：可以！）

生：我陪妈妈一起逛爱客家超市，我买了4包巧克力，一包4元，一共用了20元。

师：你说得很好，你能具体地告诉我在这个表中的每一栏里该填上什么吗？

生：在物品名称一栏里填上“巧克力”，在一件物品价钱一栏填上“5元”哦，不是一件而是一包，应该填上“5元一包”，在几件物品那一栏里填上“4 包”，在一共多少钱一栏里填上“20元”。

生：我们小组几个人上周在校店里买了3辆四驱车，每辆20元，一共用了60元。请老师在第一栏里填上“四驱车”在第二栏里填上“20”，在第三栏里填上“3辆”，在第四栏里填上“60”。

     生：我在调查过程中买了4个练习本，一个练习本是5角，一共用去了2 元钱，老师，请你在第一栏里填上练习本，在第二栏里填上5，在第三栏里填上4本，在第四栏里填上2。

生：老师！（没经老师同意就大声地喊了起来）我觉得他们俩所填表上的数据好象有点问题。（师：是吗？什么问题，请你说说看。）

生：因为各个数据的单位不同，不带上单位就容易混乱。你看第二栏的5是5角，而第四栏内的2其实是2元，也就是20角，不带单位不就让人误认为是5角和2角吗？

生：还有可能会认为是5元和2元。一个本子就是5角，4个本子怎么会是2角呢，应该带上单位写成2元或20角才行，四驱车一行里的数也要带单位。

师：你们真不错，能从表中发现这么多的问题，还能把理由讲得这么清楚。真是棒极了。那我就按你们所说的把单位带上吧。（教师在表上添写出各个数据的单位）

（点评：由于教师推迟对学生表述的判断才激发了学生“老师，我觉得他们俩所填表上的数据好象有点问题” 为培养学生的数感与合情推理的意识创造了时空。）

生：我与爸爸一起去买了20千克大米，一千克大米要2元，一共用去了40元。

……

教师根据学生的口答，填写成了如下表格：（部分）

师：请大家认真地看一看这个表格，想想自己能从中发现一些什么吗？把你的发现向你小组里的同伴讲一讲。

（让学生独立思考，参与小组交流后抽学生代表在全班讲述）

生：我发现表中的每件物品都有价格。也就是说不管买什么东西都要知道它的价格。

生：我发现四驱车太贵，花许多钱买来很不值得。

生：我发现要想知道一共用去多少钱就必须知道自己买几、几…几个（该学生不知道用什么量词合适，有点急）。比如要想知道自己买巧克力用去多少钱，就必须知道一包巧克力要多少钱和自己要买几包巧克力，然后用一包巧克力的价钱来乘买得的包数，得出一共用的钱数。（最后只得举例讲述）

师：哇！你这真是一个了不起的发现，你还能发现买几件一样的东西一共要付多少钱的算法。请同学们也都看看自己的调查表来想一想你买同样的几件东西是怎样算总钱数的，好不好？

教师抽到几名学生的回答都与上面学生讲的一致。接着教师说：同学们都有这样的发现，你们都是好样的，请你想一想还有没有别的发现呢？

生：我发现一辆四驱车的价钱是一包巧克力价钱的4倍，是一千克大米的10倍。

生：我发现买大米用去的钱是买巧克力用钱的2倍。

生：从表中看，每件物品都能求出一共用的钱数。

……

（点评：一句“请你想想还有没有别的发现呢？” 真正激发了学生数学地思考，更重要的是可以培养更多的学生在这种交流中学会别人数学地思考的习惯提高自己的能力。）

师：大家发现的东西真多。这位学生发现了每件物品都能求出一共用去的钱数。我先告诉大家：把一件物品的价钱叫做单价，所买物品的多少叫做数量，一共用去的钱叫做总价。（教师在讲述的同时板书：单价、数量、总价）

师：你能说一说表中每种物品的单价、数量、总价各是多少吗？

    教师让学生在组内向同伴说出了每种物品的单价、数量和总价。教师深入到小组中听学生们相互讲述，了解情况。

师：同学们，刚才大家发现了每种物品都能求出一共用去多少钱，也就是能求出每件物品的总价。现在请大家想一想你是怎样求出物品的总价的？

生：我是这样想的，要求出物品的总价，只需要用物品的单价乘要买物品有数量就行了。

教师根据学生的讲述板书：

                单价×数量 = 总价

生：我也认为是：单价乘数量等于总价。

师：请大家再想一想你买东西时，计算所买东西的总价是不是这样计算的。不是这样计算的同学请举手讲一讲。

（没有举手的学生）

3、巩固演练  发展提高

师：那好，说明大家都是这样来计算物品总价的。老师和大家一样在买东西时也是这么算出物品总价的。好！现在就请大家用自己归纳的方法计算出下面表格中各种物品的总价。（投影出示如下表格）

（学生们纷纷地在草稿纸上计算着，教师边巡视边提示学生独立填完后与同组学生一起交流，说说自己是怎样计算出总价的。教师在小组长中为学生订正。）活动完成后教师提出如下问题：

师：请同学们想一想，你能把你所填写的表格中的每一行内容编写成一个应用题吗？（让学生在小组合作中完成，然后进行全班集体交流）

生：快开学了，商店里进来30个书包，打算每个单价是8元，一共可以卖多少钱？

生：我妈妈说每月买10瓶太子奶我喝，每瓶的单价是5元，你说我一个月喝奶要花多少钱？

生：开学那天，我一进教室就发现我们的课桌都是新的，我问老师，老师说我们班这次买课桌一共花了3375元，我数数课桌一共有45张，请大家算一算每张课桌的单价是多少？有的同学肯定算不来吧，哈哈。

……

（点评：从学生的生活出发开展教学有效地培养了学生的应用意识和创新精神，这一过程应该会给我们突破应用题这个教学难点拓宽思路。）

   二、分析与反思

    常见的数量关系是小学数学教学的一个重要内容，教材中只是静态地呈现出了4个例题，并用直述的形式说明了什么叫单价、数量和总价，以及它们间的数量关系式：单价×数量=总价。一般情况下，教师是这样进行教学的：（1）让学生把几个问题的三个算式 3×5=15、70×2=140、9×4=36中的每一个数据与所说的单价、数量、总价分别对上号。（2）从三个算式归纳出：单价×数量=总价（3）做“练一练”或出一些类似的应用题让学生套用上面的数量关系式进行计算。这样一来，纯数学形式的分量太重，学生对单价、数量和总价之间的关系式基本上是通过背诵而记住的，无法把丰富多彩的生活与这一个数量关系式建立起联系。天长日久，会让学生感受到数学就是记住概念、公式、法则等来进行计算的，与生活相离太远、抽象难懂、学而无味。

    认真分析和反思本案例，我认为有以下几个方面得一提：

    1、教师能大胆地跳出教材中的静态层面，从学生的生活实际出发设计教学过程，把数学学习置身于生动有趣的活动之中，让学生参与到生活实际之中去调查，去体验数学源于生活又应用于生活，感受数学有趣、有用、能学。

    单价、数量和总价之间的关系本来就是从生活中提炼出来的数学模型，从教材中的静态层面告诉学生：单价×数量=总价，然后让学生套用这个关系进行计算训练，学生肯定能掌握这个知识点和这个计算技能的。但是，教师并不满足于让学生掌握知识形成技能，而是把教材动态化，设计成一种活动。让学生去调查，体验到数学是一种生活活动，感受到生活中有许多规律即有许多数学模型可找，学会别人收集数据、处理数据的思想方法，形成数学地思考和解决生活问题的意识和能力。

    2、教师能创设适合学生个性化的学习时空，让学生亲历与体验。

    让学生富有个性地学习，必须强调学生个体的亲历性与体验性，即让学生亲身实践和真实体验。这样一来，课堂上就一定要有足够的时空来让学生深入地感悟学习材料。也就是说，要充分地展开学习的过程，让学生在亲身体验、经历教学的过程中逐步构建自己的认知，而不是只见结果忽略过程或是教师讲解过程。为此，在本节课的教学中，教师有目的地引导学生自己提供学习材料，从我最喜爱的物品着手，激发学生参与的积极性，张扬学生的个性。你看，吃巧克力、玩四驱车、牛奶、蔬菜、水蜜桃等都让学生眉飞色舞地在课堂上张扬出来了。还有“我发现四驱车太贵，花许多钱买来很不值得。”这样真情实感的流露。教师没有急于告诉学生什么叫单价、数量、总价等概念以及它们之间的关系。而是让学生观察和反思自己买东西的过程，体验到了“用一包巧克力的价钱来乘买的包数，得出一共用的钱数”等，这就是让学生进行自主建模的过程。为了防止这个数学模型只是个别或少数学生的获得，教师不急于顺理成章地告诉学生：单价×数量=总价，而是进一步给予学生的时空：请大家都来反思自己是怎样算总价的，确认大家都是这样来算总价时才来告诉学生单价、数量、总价这些概念以让学生学会数学地表达。这样一来展现了每一个人的见识，丰富了学生的体验，由感性上升到理性，从而形成概念，构建了自己的认知：即使不知道这些名词或忘记了这个等量关系式，也能根据自己的生活体验来计算购物的总价。使每一个学生的能力都得到了真正的发展。

     3、教师能用开放性的问题来让学生主动思维、有序地表达，培养了学生数学地思考和交流能力。

    让学生数学地思考、有序地表达与交流是新数学课程的一个重要目标。“义务教育阶段的数学教育是一种公民教育，它给学生带去的绝不仅仅是会解更多的数学题。……许多人就业后基本上不需要解纯粹的数学题（除了参加数学考试），对他们而言，‘思考数学’是一种需要，但更多的或许是进行‘数学思考’，即在面临各种问题情境（特别是非数学问题）时，能够从数学的角度去思考问题，能够发现其中所存在的数学现象并运用数学知识与方法去解决问题。” ^① 本节课中，教师运用两个开放性的问语：你发现了什么？、你还能发现什么？给学生一片任思维驰骋的空间，让学生知无不言，言无不尽。同时让学生进行小组合作，利用表中和自己调查得来的信息进行编题练习，“鼓励学生在独立思考的基础上与他人交流——交流各自对问题的理解、解决问题的思路与方法、所获得的结果等。这样便能在解决问题活动的过程中发展学生的思考与交流能力。”^②

    本节课的教学指导思想是让学生主动探索物品有单价、数量和总价之间的关系，从生活事实中构建成数学模型来更好地在生活中去应用数学。然而，在实际教学中，我发现有的教师在学生探索回答问题时，总担心学生的回答问题不在点子上，总是教师说前半句学生说后半句，甚至整堂课都是“填空式”的问语，学生只需要用单个的词语回答，整堂课见不到学生用完整的句子和整段的话来表述自己的观点，表面上看起来课堂上很热闹，但在热闹的背后教师代替了学生的思考与表达。本节课的教师就克服了这种现象，用问语：你发现了什么？、你是怎样算出总价的？就有效地培养了学生的交流表达能力。

    4、教师能突破传统的教与学的方式，让数学教学真正地成为了一种活动的教学。课堂教学中，教师没有强制性的讲述，整个活动都是在教师的组织和引导下有序展开的：学习材料是学生通过调查自己提供出来的，凸现的是学生生活本原；探索的过程是学生根据儿童自身的认识规律进行展开的；知识目标：单价×数量=总价 是学生自主实现的，来自生活中客观存在的这一数学模型是学生亲身体验而构建的；把这一数学模型应用于生活和数学学习之中（编题练习）是学生积极自觉参与的行为。正如《数学课程标准》中强调的“教师是数学学习的组织者、引导者与参与合作者”，“动手实践、自主探索与合作交流是学生数学学习的重要方式。”

     参考资料：

       1、《数学课程标准》（实验稿）北京师范大学出版社2001年7月第1版

       2、①《数学课程标准解读》第179页，北京师范大学出版社2002年5月第1版

          ② 《数学课程标准解读》第183页，北京师范大学出版社2002年5月第1版

       3、《小学数学教师》 上海教育出版社2003年第3期

4、《小学教学设计》 山西教育报刊社2003年第1~3期

本文发表于《中小学数学》（小学版）2003年第7－8期