案例

师：用字母表示出乘法分配律。

生： (a+b)c= ac+bc.

师：练习下面几题，能简算的要简算。

    ⑴ 3.52×1.7+1.7×6.48             ⑵ 15.26×7.3－5.26×7.3    

    ⑶ 89×101－89                   ⑷ 18×（1/2+4/9）             

⑸（48+64）÷16                  ⑹ 18÷（1/2+9/10）    

    ⑴～⑷题学生运用乘法分配律进行计算，正确。第⑸题35/45的学生计算如下：（48+64）÷16=48÷16+64÷16=3+4=7。第⑹题30/45的同学是这样计算的：18÷（1/2+9/10）=18÷1/2+18÷9/10=36+20=56。

师：第⑸、⑹题为什么能运用乘法分配律进行计算？这不是除法式题吗？

生：好象我们以前也做过这样的题目，可以的，而且这样做好算啊。

生：我不同意他们的说法，这两题是除法式题，不能用乘法分配律进行计算，更不能以是否好算为依据。

师：那这两题是否可以简算呢？有办法确认吗？

生：可以用常规方法计算出结果，再比较。

学生计算，结果显示：第⑸题先后得数相同，第⑹题先后得数不相同。学生开始议论，教师未加阻止，这是自发的交流，因为他们有交流的需要。

生：第⑸题先后得数相同，可以运用乘法分配律简算。而第⑹题先后得数不相同，所以不能运用乘法分配律进行计算。

师：这是怎么回事呢？

生：我把（48+64）÷16转变为（48+64）×1/16的形式，很明显，可以用乘法分配律进行简算。而第⑹题则不能转变为(a+b)×c的形式，所以它不能运用乘法分配律进行计算。

师生自发鼓掌。

师：说得太好了，把除法式题转变为乘法式题，问题便一目了然,大家明白了吗？

生：明白了。

师：下面以小组为单位创造一些能运用乘法分配律进行简算的式题，看哪一个组创造的式题种类多。

反思：

学生看到（48+64）÷16和18÷（1/2+9/10）“基本符合”乘法分配律的适用条件，而且还“好算”，于是认为可以运用乘法分配律进行简算，这是一种正常现象，在认知心理学上叫“图式的泛化”。出现这种情况的原因是在一部分学生的认知结构中，已经把乘法分配律和简便联结起来了，而且还有简算类似第⑸题的成功体验。他们不知道简算的真正理由，但是经过老师不经意的强化，就认为乘法分配律适用于第⑸题，第⑸题和第⑹题差不多，所以乘法分配律也适用于第⑹题。

说“图式泛化”是正常现象，是因为它在概念形成过程中经常出现，但它是人们获得正确概念的障碍，必须要扫除。让学生经历认知冲突是扫除这一障碍的有效策略。教师安排了第⑸题和第⑹题，学生出现意见分歧，自觉寻求解决的方法——按常规方法计算，通过计算他们认识到：同是除法式题，乘法分配律适用于第⑸题，不适用于第⑹题，学生产生疑惑，此时此刻就是教师不作明确要求，学生也会主动寻找原因，因为他们的好奇心已被激起，最后问题得以解决。这次认知冲突使学生的认知结构经历了从平衡到不平衡再到平衡的过程，同学们头脑中的乘法分配律的内涵和外延会更加清晰，而且还获得了比较丰富的情感体验。