[案例描述]

常听到老师这样问学生：“要求梯形的面积必须知道什么？”学生回答：“上底、下底和高。”于是遇到这样的问题：一个直角梯形较短的一条腰长6厘米，上、下底的和等于这条腰的长。这个梯形的面积是多少平方厘米？很多学生感到茫然：不知道上底和下底，怎么求面积呢？究其原因，是我们老师在最初教学梯形面积的计算时犯下了诸如本文开头设问的错误。并且，书上的例题和习题往往都是已知上、下底和高求面积，怎样在教学的起始阶段避免学生形成上述错误认识呢？笔者一直在思考并寻求良策。这次教学该内容时，我设计了以下的问题：

两个完全一样的梯形拼成了一个平行四边形（如图），但被一块布挡住了，你能求出梯形的面积吗？（图中每格代表边长1厘米的正方形）

课上，学生们展开了颇有趣味的讨论。

“调皮鬼”天伟抢先说：“把这块布拿掉不就知道梯形的上底和下底长多少了吗？”

我不动声色：“这是一个办法。可惜这块布不小心粘上去撕不下来，这梯形的面积还能求吗？”

教室里沉寂下来。在每个人都有一定的想法后，我安排学生小组讨论。讨论后，我请第四小组汇报了他们思考的过程。赵宇杰说：“我们假设了梯形的上底是1厘米，下底就是6厘米，这样能求出梯形的面积是14平方厘米。”潘悦继续说：“我们还假设了上底是2厘米，下底就是5厘米，算出的结果也是这样。”张爽总结陈词：“我们举了几个例子都是这样，所以我们认为梯形的面积一定是14平方厘米。”

我先鼓励他们善于思考，然后追问：“举例是个好方法，但我们不能找出所有的情况。你们从举例中除了发现梯形的面积不变以外，有没有其他的发现？”

纪丞补充道：“我们还发现，梯形的上、下底之和总是7厘米。”

赵宇杰突然大叫：“哎呀！我们‘上当’了，用不着举那么多的例子，因为无论怎样，梯形的上、下底之和都等于平行四边形的底，所以一定是7厘米。这面积也就一定是14平方厘米了。”

第七小组也发表了他们的见解。陈石跑到黑板前，边指边像评论员似的说：“其实，我认为赵宇杰他们小组有点‘只见树木，不见森林’。从整体上看来，这个平行四边形是两个完全一样的梯形拼成的。无论这两个梯形是什么形状，每个梯形的面积都是拼成的平行四边形面积的一半。我们从图中很容易求出平行四边形的面积，7 × 4 = 28（平方厘米），所以梯形的面积是28 ÷ 2 = 14（平方厘米）。”对他的精彩发言，大家报以热烈的掌声。

该小组陈凯佳继续补充：“有的同学可能认为，要求梯形面积就要去找上、下底和高。其实并不是这样。我是受到书上‘练一练’里一道题的启发想到的。这道题有一幅图并告诉我们一个面积是36平方厘米的平行四边形是由两个完全一样的梯形拼成的，求其中一个梯形的面积。知道了拼成的平行四边形的面积，也就知道了其中每个梯形的面积。”

张钰接着说：“我们并不需要知道梯形的上、下底分别是多少，如果能知道梯形上、下底的和与高，照样可以求梯形的面积。”

对学生滔滔不绝的回答，我兴奋不已，水到渠成地总结：“是啊！我们在计算梯形面积时，不要死抱着公式不放，应该灵活根据题中的信息选择合适的方法。可以根据拼成的平行四边形的面积求梯形面积；不知道上底、下底的长，但能找到梯形上、下底的和与高，也能求梯形面积。同学们还想接受挑战吗？”

我留给同学们一道思考题：

下图是一个直角梯形，较短的一条腰长8厘米。两条线段把梯形分成的三个三角形中，有两个是等腰三角形。这个梯形的面积是多少平方厘米？

[反思]

1. 从学生的茫然中反思教学的失误是我们进步的源泉。新知学习一段时间以后甚至到了总复习阶段，我们还是发现不少学生对某些数学知识和方法感到茫然。与其责备学生掌握知识不牢固、不灵活，不如反思初次教学时学生到底经历了怎样的学习过程，先入为主地建构了怎样的数学概念和方法。如果我们静下心来寻思一下不经意间常问的“要求梯形的面积必须知道什么”这样的问题，就会感到汗颜。因为，这实在是一个不能原谅的误导学生的错误提问，这是教师自身被公式牵着鼻子走，从而导致了学生思维的固化和僵化。在我看来，这正是目前的课程改革淡化公式的记忆和机械运用，强调公式的探究经历和实际应用的重要原因。廓清教学失误的原因，会让我们从失误的苦涩中更加理性地思考如何在教学的起始阶段帮助学生建构正确、完善、开放的认知图式。如何更为深刻地理解梯形面积公式的形成过程，如何合理地去用公式而不是套公式，便成为我回到教学起始阶段时重点考虑的问题。我们不是防微杜渐，而是以梯形面积如何计算为载体，发展更为重要的整体意识，形成一些解决问题的策略。

2. 对公式的应用克服机械操练，凸显本质把握是教学的真义。寻思学生面对新问题情境发出的疑问，我们不难发现，对梯形面积公式的机械反复操练也是学生思维定势的重要原因。在形成技能的初始阶段，实在不宜过早地对同一类型的习题进行大量练习。形成对知识和方法的灵活认识更为重要。对梯形面积公式的应用，我们需要从“除以2”的角度引导学生去理解拼成的平行四边形面积与每个梯形面积之间的关系，如已知梯形面积如何求拼成的平行四边形面积和已知拼成的平行四边形面积如何求梯形面积；我们需要通过高相等，上、下底之和一定的一组梯形面积的比较让学生明晰梯形的面积与上、下底之和及高有关，与上、下底分别是多少并没有直接的关系；我们还需要通过如上所述的问题情境让学生形象直观地体会和理解不确定（梯形的上底和下底）之中的确定（上、下底之和），更为深刻地认识拼成的平行四边形在求解梯形面积中的桥梁作用，达到对公式本质的深度把握。我们也需要在应用中沟通求一堆木头（堆成梯形）的根数的方法与梯形面积计算之间的关系，渗透等差数列的求和方法……

3. 引发认知冲突是发展数学思考、优化认知结构的重要策略。学生在学习中，特别是起始阶段犯错误是正常的，对教师来说是一种宝贵的资源。正如特级教师华应龙所说：“课堂因差错而精彩！”有时候，我们甚至需要“导误”。亦即我们需要通过问题情境引发学生的认知冲突，而不是直白的“告诉”，从而让学生在认知失衡后去实现顺应，达到新的平衡。对学生天真而现实的想法“把布拿掉！”我并没有持否定甚至批评的态度，而是巧妙地通过“粘上去了”的情境，既保护学生的自尊心，又将学生的认知冲突激化。学生的思维经历一定的曲折而产生顿悟“上当了”——走弯路了，进而实现思维上质的跨越：只要知道上、下底之和与高就能求梯形的面积。这样的思维过程不仅是正常的，更是有价值的。学生逐步能从整体上把握问题的本质：无论这两个梯形是什么形状，每个梯形的面积都是拼成的平行四边形面积的一半，因而只要求出平行四边形的面积。在教学中，学生从书本习题中受到启发的思维过程暴露以及自主的反思小结，不仅体现出认知冲突后数学思考的发展，而且显现了学生关于梯形面积的认知已经打破壁垒，走向开放，实现优化与完善。