波利亚指出：“只要数学的学习过程稍能反映出数学的发明过程，那么就应该让合情推理占有适当的位置。”《数学课程标准》也提出要求：“发展初步的合情推理能力，能用实例对一些数学猜想作出检验。”课程改革以来，合情推理受到了教师们前所未有的关注，数学教材中也大量地采用了数学猜想、枚举归纳等合情推理的方法。不可否认，许多重大的数学发现都是在猜想中诞生的，但与此同时，我还看到了一些令人担忧的现象：当学生的猜想与教师不谋而合时，教师喜形于色；在猜想只是得到个别实例的印证而不是普遍印证时，结论匆匆而定……我感到了验证意识的淡化和漠视，验证方法的盲目和缺失。在课堂观察中，我曾见识了两次这样的“验证”。

案例与剖析

案例A  [长方形和正方形的特征]

生猜想：长方形上边和下边相等，左边和右边相等。

师：你能利用学具袋里的长方形纸片来验证这个猜想吗？（学生都拿出指定的纸片进行操作，而后开始交流。）

生1：我量出上边是9厘米，下边也是9厘米，左边是6厘米，右边也是6厘米。

师：其他同学量的结果和他一样吗？

生（异口同声）：一样。

师：通过验证，你能得出什么结论？

生2：长方形上边和下边相等，左边和右边相等。

……

   （这样的处理表面上看是水到渠成，实际上无形中犯了验证的大忌：仅凭很少的实例就作出一般的结论。学具袋里的长方形是生产线上统一制作的，难道仅凭手中一模一样的长方形，量出一模一样的数据，就可以说所有的长方形都有这样的特征吗？虽然说在小学阶段，严密论证是不可能也是不必要的，但如此“轻率概括”式的验证是万万不可取的，甚至会滋长学生不求严谨、不负责任的学习态度。）

案例B  [加法交换律和加法结合律]

教学加法交换律时，教师出示了以下几组算式让学生计算。

    12+25    25+12

    35+47    47+35

    ……

    师：你发现了什么？大胆地猜猜看！（生自由发表意见，师随之用等于号将每组算式的左右两边连接起来。）

    师：是不是像这样的算式都有同样的规律呢？你能仿照黑板上的样子，再写几个吗？

    ……

   （学生写出了很多，也交流了不少。表面上看论据可谓充分，但只消轻轻的一句追问：“学生算了吗？”学生所举的大量实例的价值就遭到了怀疑。原来，他们只是在机械地模仿，举的例子也是漫无目的，甚至不知道教师的本意是让他们通过计算来验证，而不是简单地依葫芦画瓢！如此“验证”，徒具其形，未具其神。如此“验证”，渗透数学思想方法，提升学生的思维水平的目标何以实现？）

    反思与实践

    以上案例是我校教研活动的真实记录，试上的失败促使组内的每一位教师陷入了深刻的思考。两个案例都致力于让学生经历“猜想—验证”的过程，都意识到“枚举归纳”是小学阶段重要的验证方法，但是对于“枚举归纳法”都缺乏深层次的认识。于是我们对相关理论进行了恶补，明白了所谓枚举归纳是“根据一类事物中部分对象具有某种属性并且没有遇到反例，从而推出该类所有对象都具有这种属性的归纳推理。”运用简单枚举归纳推理时应注意：被考察的对象数量越多、范围越广，结论就越可靠。试上之所以失败，症结就在这里。

可以说，解剖课例的过程是痛苦的。但惟其痛苦，才有“凤凰涅磐”般的重生。于是有了第二次实践。

案例A  [长方形和正方形的特征]

师：生活中许多物体的面都是长方形的，你能找一找吗？（学生通过观察，直观判断出黑板的面、数学书的面、国旗的面等都是长方形。）

师：这些长方形，有的胖，有的瘦，有的高，有的矮，看起来各不相同，但是它们有没有什么共同的特征呢？请你猜一猜。

……

师：每个同学面前都有一张与众不同的长方形纸片，小组里还准备了各种各样的工具，你们小组能想出不同的办法来验证吗？

学生小组合作，然后全班交流。

生1：我是用量的方法，发现上边和下边都是9厘米，左边和右边都是6厘米。

生2：我也是用量的方法，不过我的长方形比他的小，上边和下边都是5厘米，左边和右边都是2厘米。

生3（一边说一边演示）：我不用量就知道长方形上边和下边相等，左边和右边相等。只要把它上下对折，这两条边就对到一起了，再左右对折，这两条边也对到一起了。

……

师小结：刚才我们对形态各异的长方形，运用不同的方法进行了研究，最终都发现长方形上下两条边相等，左右两条边相等。……

    （三年级学生的思维水平处于具体运算向形式运算过渡的阶段，只有依赖具体事物的支持，充分地经历数学活动，才能作出有价值的猜想和验证。教师首先引导学生寻找生活中形态各异的长方形，通过观察、比较、联想等数学活动作出符合一定经验与事实的猜想。进而为学生提供了不同的长方形纸片，通过操作、分析、归纳等数学活动完满地演绎了长方形特征的探究过程。在这个过程中，学生不仅感受到探究对象的丰富性、探究方式的多样化，更体验到了数学推理的合情性。）

案例B  [加法交换律和加法结合律]

    为了防止学生机械模仿，教师先示范着现场编出两个算式。

    师：这两个算式是否相等？怎样才能知道？（强调计算）然后郑重其事地在中间划上了等于号。

    师：请你再写几组这样的算式，并且算一算，看看刚才的猜想是否正确？

学生举例、计算，教师有选择、有顺序地组织交流。

……

师：上面的例子都是两位数加两位数，还有不同的例子吗？

在教师的启发下，学生又举出了两位数加一位数、一位数加一位数、三位数加三位数等不同的类型。

    师：刚才的例子计算起来都不困难，谁能举个难一点的数？

在教师的“鼓动”下，同学们跃跃欲试，举出了更大的数。最后借助计算器，猜想同样得到了验证。这时学生的兴致调到了极高点。

师：别急！我们不举更大的数了。还有一个非常特殊的数在暗自伤心呢！怎么把它给忘了呢？包含0的算式是否也符合这个规律呢？你能举个例子吗？

师：有没有不符合这个规律的例子？你能举出来吗？

……

学生的视角在教师的引领下，不断地得以延展。

接下来，加法结合律的猜想及验证过程顺畅自然，一气呵成。

（虽然教师对“验证”只字未提，但我们可以感受到学生时时刻刻、真真切切地在经历验证的过程。随着教师组织的逐步深入，学生的思维也随之逐步优化。从理论上讲，再多的例子也只是不完全归纳，但我们仿佛看到广阔的数学王国展现在学生的视野中，一位数加一位数、两位数加一位数、两位数加两位数，甚至更大的数和特殊的0，都满足这样的规律而且没有人能举出反例，我们有理由相信枚举归纳的结论是正确的。在这个过程中，学生不仅获得了数学结论，更重要的是学会了获得数学结论的思想方法。）

体会与启示

1．丰富的数学活动素材为多方验证提供物质基础。

验证结论是否可靠，在一定程度上取决于所枚举事例的数量和范围。所以，在运用枚举法进行教学时，教师要十分重视对学习材料的选择和设计，尽量增加枚举的数量，防止千人一面；同时要十分重视对学习活动的优化和组织，尽量扩展考察的范围，防止以偏概全。在生动活泼、精彩纷呈的数学活动材料的刺激下，学生的个性才能得到张扬，潜能才能得到挖掘。只有这样，才能作出有价值的猜想和多方法、多方位的验证，从而尽可能地增加结论的可信度。

2．丰厚的数学活动经验为多方验证积淀思想方法。

    如果枚举时只注重“量”而忽略了“质”，只注重了广泛的“发散”而忽略了典型的“提炼”，那么学生的思维水平就永远无法提升。教师适当的引导和点拨，犹如醍醐灌顶般促进学生的思维从合情推理水平向逻辑推理水平过渡，帮助学生积累从感性认识跃向理性认识的经验。在这样的数学活动过程中，学生获取的不仅仅是数学基本知识和基本技能，更重要的是数学基本思想和基本活动经验，尤其是，难能可贵的探究的品质将在学生的心灵生根、萌芽。