[案例]苏教国标版小学数学五年级（下册）中的数学实践活动：奇妙的图形密铺

场景一：课堂上

在学生理解密铺的含义后，我让学生猜测、判断教材中提供的几个平面图形能否密铺。在由一些尖子生主导的课堂交流中，学生一致认为：平行四边形可以，梯形可以，正三角形可以，正五边形也可以，就圆形不可以。

师：怎么就圆形不可以密铺呢？

生：圆上没有角，圆与圆放在一起，中间总有空隙，不能密铺。

师：你们确信其他的图形都能密铺吗？有没有怀疑？

生：确信！没有怀疑！

师：哦，这么确信？你们都拼过吗？

生：没有。

师：那怎么这么确信呢？

生：其它的图形上都有角，铺起来后就不会像圆形那样中间有空隙。

师：哦，善于观察，又善于分析！这样不用动手铺就能很有把握地判断出这些图形哪些能密铺了，厉害（我给他们竖起了大拇指）！

生开心，脸上洋溢着喜悦。

师：我们动手拼一拼，看拼出来的密铺图案是什么样的好吗？

学生动手拿出课前已经剪下的附页中的图片很有兴致地拼着，拼好一个就喊老师去看，希望得到老师的鼓励。

当拼到正五边形时，只见他们调整来调整去，就是拼不好，但是谁也不服输，没有人喊不能密铺，一个劲儿在那不停地忙调整。

老师等……

过了好长时间，有个同学说：我怎么铺不起来呀？

师：怎么会拼不起来呢？刚刚讨论过了，正五边形是可以密铺的呀？

老师又对大家说：谁拼好了就来帮帮他！

没有人理睬老师，还是在那颠三倒四摆来摆去。

师：怎么突然冷静起来啦？有没有谁拼好了？

有一个学生苦笑着摇摇头：还没有拼好。

师：还想继续拼下去吗？

生：再试试看。

拼了一会儿，有很多同学都放下了手里的纸片，在小组中与同学讨论着调整的方法。

又过了一会儿，学生灰心了：老师，拼不起来！你拼给我们看吧！

师：别把希望落在我身上！告诉大家，我拼过，拼不出来！过去的许多数学家也都拼过，都没有拼出来！

生一阵笑。

师：刚刚讨论的时候，你们都说能拼出来，老师以为要有新的数学家诞生了！

生又是一阵笑。

师：大家敢于向权威挑战，是好事！许多新的科学家就是在否定前人的基础上诞生的。

师：刚刚我们用正五边形来密铺，结果是——

生：拼不出来！

师：拼不出来，说明了什么？

生：正五边形不能密铺！

师：可开始我们通过观察分析都认为正五边形能够密铺，这又想到了什么？

生：光凭眼睛看，凭感觉猜想是不够的，要动手验证一下。

师：所以一位伟大的人说过：“实践出真知！”

……

场景二：课间办公室

回到办公室，我将上述的教学过程与同事交流，想不到的是，他们的想法竟然与学生开始的猜想一样，由此还同我发生了炮轰一点的争论：正五边形能够密铺！并翻开教参184页中的这样一段话：“教材提供的五种平面图形中，除圆形不能密铺外，其余几种图形都可以密铺。要让学生在动手操作中获得上述结论，并可适当指导具体的密铺方法。”这证据还的确有分量！

“难道教参也错了？”有老师反问。

“教参也是人编的，怎么就不会有错？”

“教参是教学参考的权威，一般不会错的。”

“原来你们是受教参影响了，呵，看来‘想当然’的不只是学生，还有编者。” 我再次强调，“是人，难免犯错误，教参上的这段话肯定是错的！”

有老师还坚持：“不会，正五边形应该能够密铺！”并着手画起示意图。

我说：“我们班学生都拼过了，肯定拼不出来的！现在，我班上的学生不仅知道正五边形不能密铺，还知道为什么不能密铺！”

有老师见我这么说，就建议：“拿出正五边形出来拼一拼，可能是你们拼法不对。”

大家收罗出一些正五边形拼了起来。

我说：“冷静！请大家思考一下，正五边形的每个内角是多少度呀？能拼出360度吗？”

这下才真冷静了！

感悟一：实践出真知 等待成精彩

1.精心为“猜想”之嫩苗“培土”，借错发挥，预约真理。

猜想，是创新的萌芽，可以说，没有大胆的猜想，就不可能有伟大的发明和创造。而小学生的数学猜想只是一颗柔弱的嫩苗，教师对于学生猜想的结论不管对与错都需要精心呵护和专心培育。只有精心“培土”，“猜想”的嫩苗才会茁壮成长，迸发出令人欣喜的灵感和创造。案例中，当教师提供几个平面图形，让学生猜想它们能否密铺时，学生猜想出：平行四边形可以，梯形可以，正三角形可以，正五边形也可以，就圆形不可以。理由是：圆上没有角，圆与圆放在一起，中间总有空隙，不能密铺；其它的图形上都有角，铺起来后就不会像圆形那样中间有空隙，所以都能密铺，且对猜想得到的结论还非常确信。这时，老师没有及时指出学生的错误，而是将大拇指送给了在观察与分析的基础上敢于大胆猜想的同学，将预案中的验证过程不留痕迹地变为图形密铺后的展示过程：让学生动手拼一拼，看拼出来的密铺图案是什么样的？这样既保护了学生“猜想”的积极性，又为学生在错误中发现真理、感悟真理埋下了伏笔。

2. 教学不是告诉，让学生在错误中感悟，实践出真知。

教学不只是一种告诉,而应是学生的一种体验、探究和感悟。对数学教学而言，不仅要着眼于数学知识的理解和掌握，更要关注学生在获得知识的同时，是否有助于学生个体的学习能力、思维品质、创造才能以及情感态度等多方面的一般发展。从这样的教学理念和追求出发，一个数学探究的过程如果仅仅立足于生成对某个具体的知识或结论的理解，可能还是不完善的，它的不足之处就在于学生从他们所经历的数学探究过程本身，也许没有获得多少具有科学方法论的价值引导。猜想是否有价值，最终要接受实践的验证。能否让学生充分认同这“验证”的重要性呢？案例中，老师充分利用学生得出的错误结论，让学生经历猜想与验证的过程，变 “告诉”的方式为“引导”的方式，变学生“接受”的过程为“探求” 过程。当学生发现正五边形不能密铺时，教师幽默地说：“刚刚讨论的时候，你们都说能拼出来，老师以为要有新的数学家诞生了！”学生自嘲地笑了，这时老师又指出：“敢于向权威挑战是好事，许多新的科学家就是在否定前人的基础上诞生的。” 学生的脸上再次洋溢着自信的笑容。最终学生深刻体会到：光凭眼睛看，凭感觉猜想是不够的，要动手验证一下，真乃“实践出真知”。

3.给学生充足的探究时间，坚持瓜熟蒂落的等待，让等待成就精彩。

课堂教学要在有限的时间里完成规定的教学内容，很多时候，教师为了按预设时间完成教案进度，留给学生讨论、探究的时间不够充分，常常是刚刚布置，便匆匆收场，使得学生讨论肤浅，探究流于形式。德国教育家第斯多惠说：“教学艺术的本质不在于传授的本领，而在于唤醒、激励和鼓舞。” 新课程理念中，教师首先要学会等待，要有足够的耐心去唤醒、去等待学生智慧火花的点燃。学会等待，自然会瓜熟蒂落、水到渠成。

等待，是给学生充分考虑的时间，是给学生自主感悟的时间。“不愤不启，不悱不发”就包含着对启发时机的等待。案例中，学生拼到正五边形时，调整来调整去就是铺不出来，但是谁也不服输，没有人喊不能密铺，一个劲儿在那不停地忙调整。这时，老师等……当老师问：“还想继续拼下去吗？”学生说：“再试试看。”老师又等……直到学生说：“老师，拼不出来，你拼给我们看吧！”这时，老师才适时指出：谁也拼不出来！因为有了老师的充分等待，学生便有了对“猜想后需要验证”的深刻感悟，所以说，是等待成就了精彩。

等待，也是教者对学习者的尊重和理解，课堂上，我们一定要注意摈弃揠苗助长的提速，坚持瓜熟蒂落的等待。

感悟二：多一些实践 少一些想当然

1.是人，难免犯错。智者千虑仍必有一失，何况凡人？想想自己，这次笔者能确定正五边形不能密铺，得益于自己往年曾引领学生深入探讨过“什么样的图形才能密铺”这样的问题，并得出了相关结论。如果没有经历过这样的探讨与思考，我或许也难免于“想当然”。如果要想少犯错误，那就要多一些实践，因为实践出真知，理性的思考得建立在充分实践的根基之上，否则“思考”极易幻化为“想当然”，导致抱着“谬误”当“真理”而浑然不知。

2.权威，导致盲从。办公室的交流后，一时间想不明白的是：少数班级已经上过这个内容，而且也让学生动手操作了，怎么师生还会同时得出“正五边形能够密铺”这个错误结论？或许就是受着“权威”的影响。因为教者本就没有认真思考也没有动手操作过，见教参上写着“正五边形可以密铺”，怎么会怀疑？课堂上，当一些尖子生说出自己的猜想（正五边形能够密铺）后，那些本有疑惑还没有判断出“正五边形能否密铺”的学生岂不是抓住了救命稻草，也就立刻盲从：正五边形能够密铺！教参是教者心目中的权威，老师是学生心目中的权威，尖子生是一般同学心目中的权威，一层一级下来，大家一致确信：正五边形能够密铺！谁还关注操作的结果？再加上给的操作时间又不充分，直接导致了操作有形无质。所以，教学中给学生操作的时间一定要充足，发挥操作应有的作用才行。另外，要培养学生不迷信权威的意识，教师自己首先得有批判精神，做到不盲从。

  3.下水，方知实情。很多年前就倡导语文老师指导学生作文时教师自己要先写“下水”文，看来数学老师也不能只是站在岸滩上指手画脚，也有必要走到水中湿湿手脚，探探深浅。只要我们下得了岸滩，走到水中去，就一定能感受到水的冷热和深浅。所以，我们数学教师备课时要注意入细入微，实践出真知，凡给学生做的题目自己事先亲笔算一算，凡让学生动手操作的内容自己事先都亲手做一做，这样，有多少问题事先发现不了？只要我们教师能注意多一些实践，少点想当然，在课堂上就能游刃有余而不误人子弟。