随着新课程改革的进一步深入，那种只追求热闹，浮于表面的教学越来越受到大家的责疑——数学的课堂教学应教出数学的味道，应教出数学学科的特点与价值，不能走在活动课的边缘。那么如何既发挥学生的主体作用，让其参与到知识的形成过程，又能引领学生的思维走向深入，养成良好的数学素养呢？下面的案例或许能为大家带来一些启示。

[片段欣赏]

一  提出问题  渗透转化思想

 1  回忆旧知，感悟思想

 师：请大家回想一下圆柱的体积公式？用字母怎样表示？

生：圆柱的体积=底面积×高，字母公式是V=SH。

 师：是怎样推导出来的？

 生：将圆柱体转化为长方体。因为圆柱的体积、底面积、高分别与长方体的体积、底面积、高相等，长方体的体积等于底面积乘高，所以圆柱的体积等于底面积乘高。

  师：说得很完整。将新知识转化为旧知识是一种非常有价值的思考方法。今天我们继续用这样的方法来研究新知识。上一节课我们认识了圆锥的特征，现在你还想了解圆锥哪些方面的知识？

生1：圆锥的体积怎样计算？

生2：怎样求圆锥的侧面积和表面积？

  生3：学习这些知识有什么作用？

 师：大家有许多的问题需要去解决。说明我们的同学有发现问题的眼光。今天我们先研究圆锥的体积。（板书课题：圆锥的体积）。

（简析：通过回忆圆柱的体积公式的推导过程，感悟“化归”的思想，为新课的开展奠定了基础。）

2  比较形体  优化选择

师：圆锥的体积，你打算通过什么形体来研究呢？

生1：利用圆柱的体积来研究。

生2：利用长方体的体积来研究。

师：时间的关系，如果利用当中的一种形体来研究，你打算用哪一种？为什么？

生：圆柱，因为圆柱的底面与圆锥的底面都是圆形，便于研究。

师：有道理，今天我们就借助圆柱的体积公式寻找圆锥体积的计算方法。（板书：圆柱——圆锥）

  （简析：寻找知识间相似或相通处，是进行知识间相互转化的前提，之所以选择圆柱作为研究圆锥“化归”的对象，是因为圆柱与圆锥诸多的相似点，便于比较两者之间关系，易于得到圆锥的体积计算方法，为思考指明了方向。）

二 初次实验  形成认知冲突

1 操作汇报  形成冲突

出示学具：沙子、圆柱体容器、圆锥体容器。

教师示范：将圆锥装满沙子，用尺刮平，倒入圆柱体的容器中。

  学生分组汇报结论。

组别	圆柱和圆锥的体积关系
2	圆锥的体积是圆柱的9倍
3、4、6、8	圆柱的体积是圆锥的3 倍
1、5	圆柱体积是圆锥的1.5倍
7	圆柱的体积是圆锥的4倍

  师：1.5倍，这么精确？

   生：应该说1倍多一些。

   师：请同学们观察一下每组的实验结果，你有什么发现？

（全场静寂，过了一会有学生发言。）

 生1：它们的关系不是固定的。

 生2：有倍数关系，但倍数不一样。

 师：有没有相同的情况？

 生：3、4、6、8组的实验结果相同。

   师；它们结果为什么相同呢？

 生：……

（简析：给每一组提供不一样的操作材料，制造了认知上的矛盾，为生与生、组与组之间的争辩提供了支撑。）

    2 观察讨论  探究其因

    师：请各组的组长将材料拿到前面来看一看。

   （组长将圆柱、圆锥容器按次序摆好。）

    师：请观察，这几组圆锥，圆柱体容器大小一样吗？

    生：不一样。

    师：请观察有什么相同的地方？

    生：每一组圆柱和圆锥容器的高一样。

    师：（用尺比划每一组容器的高。）为什么感觉不一样高呢 ？

    生：圆柱容器有底子。

   （简析：这里的说明很有必要，让学生澄清了是利用“物体的容积”来研究圆锥与圆柱的体积关系，“高”应是指容器内部的“高度”。）

    师：还有什么共同 的地方？

生：每一组容器的底面积大小相等。

    师根据学生发言对学具进行比较。

    师：看一看其它各组圆柱与圆锥的底和高的关系怎样？

   （学生离位观察）

    生1：不等底不等高 。

    生2：等底不等高。

    生3：等高不等底。

     师：现在你有什么发现？

    生4：如果等底等高，圆柱的体积是圆锥的3倍。

    生5：只要等底等高，圆锥的体积是圆柱体积的1/3。

    师：真是这样吗？让我们再做一次实验验证一下。

（简析：对材料的逐组比较，有利于抛弃大小、长短等非本质的属性的关注，形成良好的表象。）

三   二次实验  收获探寻果实

1再次实验  明晰表象

    学生领取新的学具。重新实验

（简析：这样的安排符合学生的认知心理，对于刚才讨论的结果有些学生将信将疑，并且有一种操作验证的愿望。二次操作有利于学生形成深刻的表象，抽象出圆锥的体积公式。）

2引导推理  生成新知

    师：通过实验，你找到圆柱和圆锥的体积关系了吗？

  ……

[感想]：

    综观此课， 学生在操作、观察、思考、交流、归纳、总结等一系列的活动过程中，不仅经历“等底等高”的圆柱与圆锥体积关系的寻找过程，掌握圆锥的体积计算方法，而且感悟了“化归”的数学思想，有了困惑、释然、欣喜的情感体验，深刻地认识了“等底等高”与“1/3”的内在联系。不仅掌握了知识技能，更重要的是在知识的探寻过程中进行的深入的思维，真正体现了数学学科的价值。

一  提供走向深入思维的工具支撑

学生的思想需要适当的物质材料的刺激和恰当的方法引导，只有在合理的思维工具的支撑下，才能通过自己的摸索研究，形成深刻的表象，产生丰富的情感，从而构建自己的新知网络。

1 给予思想上的指引

数学的教学旨在通过学生观察操作思考，掌握数学的方法策略，感悟数学的思想，并用方法思想去研究新的问题探索新知，形成学习数学的能力。在新课的教学中往往包容着诸多的思想元素，这需要教者深研所授新知在知识结构的作用，提炼思想内涵，并通过一定的策略让学生去感悟运用。“化归”的思想在小学的几何教学中，学生已有深刻的感悟。平行四边形、三角形、梯形、圆的面积计算方法都是通过转化为熟悉的图形从而推导出新的公式。教者新课伊始，让学生回忆圆柱的体积推导过程便是思想上的渗透，为学生的思维指明了方向。

2 提供丰富的操作材料

“如果把掌握知识的过程比喻为建造一座大房子，那么教师应当提供给学生的只是建筑的材料——砖头、灰浆等，把这一切砌垒起来的工作应当由学生去做”。可见只有提供充分的“建筑材料”，才能建造起“坚固美丽的大厦”。这节课因为有了丰富的操作材料，才使精彩的思维冲突有了可能。我们深为教者设计的学具所折服。“等底等高”，“等底不等高”，“等高不等底”，“不等底也不等高”的圆柱与圆锥容器，应花费了教者诸多心血，更难得的是即使“等底等高”，也是，高高矮矮，大大小小，各不相同。这样使学生在观察、测量、对比中认识到只要圆柱和圆锥等底等高时，它们的体积就存在3倍关系这一本质特征。学生在充分感知的基础上形成丰富的表象，从而使目标的落实水到渠成。

二 给予走向深入思维的时间支撑

数学的课堂不仅仅是漂亮的材料呈现与热闹的游戏，更需要深入的思索。“思维的体操”是赋予数学的职责。而思索，深刻的思索需要足够的时间，需要教师耐心的等待。“四十分钟”是短暂的，可教者并没有因为紧迫而压缩动手动脑的时间。当每一次实验结果呈现出来后，老师问“你们有什么发现？”。接下来的沉默，对学生来说是非常重要的，学生此时的思维困顿与心理焦虑是产生学习心向的催化剂，也是精彩生成的前奏。此时老师并没有作出任何暗示与说明，而是在逐步地引导观察比较，得到初步的结论，再验证再总结，完全遵从学生认知特点。学生在充分操作和思考的基础上，不仅掌握了知识，更重要的是感悟了数学的思想，真正地做了数学，体验了数学。

三 营造走向深入的氛围支撑

    学习是以旧知来解释新知，通过思维的碰撞，重新构建知识结构，并产生良好情感体验的过程。这碰撞是在学生与教材，学生与学生，学生与老师多方面展开的对话。执教者是一个营造碰撞的高手。她为每一组提供了不一样的材料，也就提供了争论的话题。每一组研究的结果不同，给学生带来了情感上的焦虑与渴望以自己的结论来说服他人的要求，在争辩的过程中发现每组操作的材料各各不同，则有陷入了困惑之中，产生迫切揭示答案的愿望。再通过观察比较的基础上，渐次明晰了只有在“等底等高”的时候才有规律可寻。这个碰撞的过程不是故弄玄虚，而是让学生真真切切经历知识的形成过程，产生深刻的情感体验与深刻记忆，感受到数学是对生活的提炼与超越。第二次操作则是对未曾亲手操作“等底等高”学具同学的关顾，让他们在验证的过程中体验成功的快乐。

简单的给予、浮光掠影的操作并不能激起学生深层地思考，只有遵循学生的认知特点，为他们提供合理的思维支撑点，给予他们足够的时间等待，在良好的情感体验中才能绽放思维之花，才能引领他们走向数学的“深度”之所。