2004年3月，杭州举办大型数学公开教学活动，华应龙老师应邀上课，他执教的是“神奇的莫比乌斯圈”，很多拿到会议材料的教师（当然包括我）都感到诧异：这是一节什么课？莫比乌斯圈是什么？它又神奇在哪儿呢？带着这样的心情，我们一同欣赏了这节课。以下是几个实录片段。

一、做纸圈（片段一）

师：今天我们一起来做一个探究。请同学们拿出桌上的一张纸条，说说这张纸条有几个面、几条边。

生：有两个面、四条边。

师：现在，我们能把它变成两个面、两条边吗？请在小组中讨论，并尝试操作一下。（小组活动后交流）

生：我们只要把这张纸条对接起来，用胶水粘好，就变成两个面、两条边了。（边说边比画，做成了如图1所示的样子）

 

师：请同学们摸一摸两条边和两个面……

这里的两条边有什么特点？两个面是平面还是曲面呢？

生：两条边都变成曲线了。

生：两个面都是曲面，一个在里面，一个在外面。

师：（又拿出一张同样的纸条）现在我这里有一张同样的纸条，我先扭一扭，旋转180°，再对接粘贴起来（图2）请同学们想一想，这里的纸圈会是几条边、几个面呢？

 

（学生思考片刻）

生：还是两条边、两个面。

生：我想，可能是两条边、一个面。

生：既然老师要我们猜想，说明可能和原来完全不一样。我想可能是一条边、一个面。

（这时下面听课的教师也禁不住撕下记录本上的一页纸，做成纸圈，比画着，议论着，场上场下议论纷纷。）

师：好，现在请同学们跟我做一个这样的纸圈，然后沿着它的曲面的中线位置用笔画一条线，请大家试试，你发现什么啦？

（学生做成莫比乌斯圈，并沿着中线位置画线）

生：我发现这条线一直画下去，与起点汇合了，说明它只有一个面。

生：我还发现我把这个纸圈的边上做了一个记号，并从这个记号开始一直用手摸下去，绕了一圈又到了做记号的地方，说明这个纸圈只有一条边。

师：为什么这个纸圈会变成一条边、一个面呢？

生：因为把纸条扭转180°后，两条边对接上了，正反两个面也连在一起了。

师：对！我们把原来没有扭转而对接起来的曲面叫做双侧面。而把这种扭转后对接的曲面叫做单侧面，这种单侧面的纸圈，叫做“莫比乌斯圈”，是由法国数学家莫比乌斯在1858年发现的。你可别小瞧这个纸圈，它的奇妙之处可不少哟。下面就一起来研究。

二、剪纸圈（片段二）

师：现在，如果用剪刀沿“莫比乌斯圈”的中线剪开，猜一猜，它将变成什么样呢？

生：我想它会变成两个纸圈吧。

生：可能会变成一张长纸条了。

生：我想也是两个纸圈，而且两个纸圈套在一起。

生：是一个纸圈。

师：同学们很积极地进行猜想，值得表扬。现在大家一起剪一剪，看看到底是什么样子。

（学生早已跃跃欲试了，迫不及待地开始剪起来。下面的听课教师也饶有兴趣地尝试着。）

师：发现了什么？有什么感受？

生：我猜对了！原来真是变成了一个更大的纸圈！

生：不可思议，怎么会是这样的呢？！

师：好玩吧，还有更奇妙的呢。大家想不想试一试？

生：老师，快说吧，怎么玩呢？

师：好，现在同学们的桌子上还有一个纸条，现在我们把它沿纵向三等分，并把中间的一格涂上不同的颜色。（图3）然后像刚才一样，把它做成一个“莫比乌斯圈”。如果沿着它的其中一条等分线剪开，请你们猜一猜，要剪几次？结果会是怎样的呢？

 

（学生的学习热情又一次被激发，操作结果是变成了大小两个纸圈，而且套在一起。出乎意料，学生始终沉浸在猜想与探求的快乐中，被数学的神奇魅力深深吸引着，不知不觉一堂课就这样过去了。）

三、感受

数学课原来可以这样上！这是我听完课的第一感受。

这是一堂不同寻常的课！整堂课学生都是在“猜想—验证—探究”中一次又一次感受着数学的神奇魅力。学生在数学学习过程中，在智力或美学上真正理解了数学，体验了数学，保持对数学的浓厚兴趣，不断增强学习、探索的内驱力。整堂课中，学生的学习兴趣被激发了。

由此我认为，教师要想方设法去促使学生自己想学。这堂课还告诉我们这样的信息：新课程、新教学、新课堂对教师提出了更高的要求，要求教师广闻博览，从文化学的角度来观照数学教学，从心理学的角度来把握学生的学习心向，用“以人为本”的教育理念重新审视课堂，这样才能设计出令学生喜欢和惊奇的数学活动课，让学生徜徉其中，收获多多。

四、变动和补充

由于对此课比较感兴趣，我就华老师的教学进行了一些小的变动和补充，并进行了教学尝试。

（一）对开始部分的变动

1. 把那个长纸条的两面分别分成12个格子，正面从左到右依次写上“从前有座山，山上有座庙，”。

正面：从前有座山，山上有座庙，

2. 保持纸条下沿不离开桌面，手持纸条上沿将它从上面翻下来，在它的背面依次写上“庙里有个老和尚，他在讲：”。

背面：庙里有个老和尚，他在讲：

3. 把这张纸条扭转180°，然后首尾对接，粘成莫比乌斯圈。（图4）

 

4. 把纸圈套在右手的食指上，向左边捋一捋、念一念，就成了：

“从前有座山，山上有座庙，庙里有个老和尚，他在讲：从前有座山，山上有座庙……”

师：请告诉我，你发现了什么？

生：我发现，顺着纸条上的字念下去，永远也念不完。

师：这说明什么？

生：这说明原来纸条的正面和反面连接起来，就成了一个面！

师：对，以上所做的这个纸圈，是用数学家名字命名的“莫比乌斯圈”。可别小看这个小小的纸带，虽然制作起来十分简单，却十分奇特。例如，放一只蚂蚁到纸带上，让它沿着图中纸带上所写字的路线爬行（不经过纸的边沿），这只蚂蚁就可以一直爬遍纸带的两个面，而在普通的没有旋转180°而粘贴的纸带上是不可能做到的，现在却可以轻而易举地做到了。请同学们重新做一个“莫比乌斯圈”，拿起笔，用笔尖代表蚂蚁，先在纸圈上做一个记号，再沿着纸圈的中线一直画下去，画完后告诉老师，你发现了什么。

生：（操作后）我发现蚂蚁兜了一圈，又回到了原来的起点。

师：如果沿着这条中线剪下来，又会发现什么奇妙之处呢？请同学们先猜想一下，再剪一剪。

（二）对中间部分的补充

中间部分我补充了一个探究性操作。

按图5在纸上剪下两个十字形，纸带宽约3厘米，长可15厘米左右，再在十字上分别画上两条虚线，并在有阴影的部分涂上胶水。然后，把两个十字形分别粘成图6、图7形状。注意图7中有一个纸圈扭了180°。如果把它们沿虚线剪开，想想看会是什么样子，然后再剪剪看。

 

（三）对结束部分的补充

结束部分，华老师让学生说说“莫比乌斯圈”在日常生活中有哪些应用，学生在课堂上说了不少，如有学生说可以利用它来做过山车，这样兜一圈又能回到起点。在此，我作了如下补充。

师：现在，这一成果已经在科技上得到了应用。例如有一种电脑打印机，用来打印文稿的色带就是根据这一原理做成的，这种色带是经过180°旋转后进行对接，这样可以使色带在打印中两面都得到充分利用，从而成倍地延长其使用寿命，大大节省了材料。（用实物投影仪展示其内部结构，突出显示扭转对接的部分）你看它的设计多么巧妙啊！

有兴趣的同学可以自行猜想“莫比乌斯圈”的用途，再大胆设计，说不定还可以申请专利呢。