苏教版小学第八册《数学》安排了“积的变化规律①”：“在乘法中。一个因数不变，另一个因数扩大（或缩小）若干倍，积也扩大（或缩小）相同的倍数。”

在拓展应用中，有一个因数变化的“积的变化规律”， 也有两个因数都变化的“积的变化规律”和“积不变的规律”。“积的变化规律”拓展应用以填空题、判断题、选择题为主，三种题型可以互相变换。下面列举几例，供大家参考。

一、在周长公式中的应用

学生已学习过长方形、正方形周长公式：长方形周长=（长+宽）×2、正方形周长=边长×4。其中，长方形周长、正方形周长就是积，长与宽的和、边长、2、4都是因数，而且2和4是不变的因数。因此，会遇到下面的题目。

例1  填空：正方形的边长扩大3倍，它的周长            。

[分析]因为“正方形周长=边长×4”，边长和4都是因数，正方形的周长是积，所以，根据“积的变化规律”，一个因数（4）不变，另一个因数（边长）扩大3倍，积（周长）就扩大3倍。答案是：扩大3倍。

[练习]请应用“积的变化规律①”，试着解下面三道填空题：

1. 正方形的边长缩小10倍，它的周长            。

2. 正方形的边长            ，它的周长扩大13倍。

3. 正方形的边长            ，它的周长缩小15倍。

例2  选择：长方形的长与宽同时（    ），周长扩大4倍。

A. 缩小2倍   B. 扩大2倍   C. 缩小2倍   D. 扩大4倍

[分析]因为“长方形周长=（长+宽）×2”，长与宽的和与2都是因数，长方形的周长是积，所以，根据“积的变化规律”，一个因数（2）不变，另一个因数（长+宽）扩大4倍，积（周长）就扩大4倍。答案是：D.扩大4倍。想一想：长与宽同时扩大4倍，为什么就是长与宽的和扩大4倍？

[练习]请应用“积的变化规律①”，试着解下面三道选择题：

1. 长方形的长与宽同时（    ），周长缩小4倍。

A. 缩小2倍   B. 扩大2倍   C. 缩小4倍   D. 扩大4倍

2. 长方形的长与宽同时缩小4倍，周长（    ）。

A. 缩小2倍   B. 扩大2倍   C. 缩小4倍   D. 扩大4倍

3. 长方形的长与宽同时扩大2倍，周长（    ）。

A. 缩小2倍   B. 扩大2倍   C. 缩小4倍   D. 扩大4倍

因为“围成一个图形所有边长的总和叫做这个图形的周长”，所以等边三角形的周长就是它的三条边长的总和。又因为等边三角形的三条边相等，所以“等边三角形周长=边长×3”。因此，可能遇到下面的题目。

例3  判断：等边三角形的一条边缩小2倍，它的周长就缩小2倍。（    ）

[分析]因为“等边三角形周长=边长×3”，根据“积的变化规律”，一个因数（3）不变，另一个因数（边长）缩小2倍，积（周长）就缩小2倍，所以答案是：√ 。

[练习]请应用“积的变化规律①”，试着解下面这道判断题：

等边三角形的一条边扩大2倍，它的周长就扩大2倍。（    ）

二、在数量关系中的应用

在学习“积的变化规律”时，已学过“常见的数量关系”：单价×数量=总价、速度×时间=路程、工作效率×工作时间=工作总量。在常见的数量关系式中，单价和数量、速度和时间、工作效率和工作时间是因数，总价、路程、工作总量都是积。因此，可能会遇到下面的题目。

例4  填空：如果一件物品的单价扩大2倍，买的数量扩大3倍，用去的总价          。

[分析]如果单价不变，买的数量扩大3倍，总价扩大3倍；如果数量不变，单价扩大2倍，总价扩大2倍。因此，总价扩大6（2×3）倍。用算式证明：（单价×2）×（数量×3）=（单价×数量）×（2×3）=总价×6，即总价扩大6倍。这实际上是应用了“积的变化规律②”—— “在乘法中。一个因数扩大(或缩小)a倍，另一个因数扩大(或缩小)a倍，积扩大(或缩小)a×b倍。”

[练习]请应用“积的变化规律②”，试着解下面这道填空题：

如果原来买一种物品需要200元，现在买的单价是原来的一半，数量又买原来的一半，总价是      元。

例5  选择：一辆汽车从甲地开往乙地，如果速度扩大2倍，时间（       ）。

A. 扩大2倍     B. 不变     C. 缩小2倍

[分析]假设原来速度是每小时50千米，从甲地开往乙地需要4小时，甲地到乙地的路程就是200千米。现在速度扩大2倍就是每小时100千米，从甲地开往乙地需要2小时。世界从原来的4小时变成2小时，缩小了2倍。所以答案就是：C. 缩小了2倍。这实际上是应用了“积不变的规律”—— “在乘法中。一个因数扩大若干倍，另一个因数缩小相同的倍数，积不变。”

[练习]请应用“积不变的规律”，试着解下面这道选择题：

李老师带的钱去买排球，可以买10个，如果买单价是排球一半的网球，可以买（     ）副。

A. 5           B. 10           C. 20

例6  判断：某工程队修路，如果工作效率扩大4倍，工作时间缩小2倍，工作总量扩大2倍。    （      ）

[分析]（工作效率×4）×（工作时间÷2）=（工作效率×工作时间）×（4÷2）=工作总量×2，即工作总量扩大2倍。所以答案是正确的。这其实拓展应用了“积的变化规律③”—— “在乘法中。一个因数扩大a倍，另一个因数缩小b倍，若a＞b,则积扩大a÷b倍；若a＜b，则积缩小b÷a倍。”

[练习]请应用“积的变化规律③”，试着解下面这道判断题：

某工程队修路，如果工作效率扩大2倍，工作时间缩小4倍，工作总量缩小2倍。    （      ）

三、在面积公式中的应用

在学习“积的变化规律”时，已学过五种平面图形的面积公式：正方形面积=边长×边长，长方形面积=长×宽，平行四边形面积=底×高，三角形面积=底×高÷2，梯形面积=（上底+下底）×高÷2。在面积公式中，边长、长与宽、底与高、上底与下底的和都是因数，图形的面积是积。因此，可能会遇到下面的题目。

例7  填空：长方形的长扩大3倍，宽        ，面积不变。

[分析] 长方形的长扩大3倍，要使面积不变，宽必须缩小3倍。这实际上是应用了“积不变的规律”。

[练习]请试着解下面的填空题：

1. 三角形的面积是32平方厘米，底扩大4倍，高缩小4倍，面积是      平方厘米。

2. 梯形的上底是5厘米，下底是10厘米，高6厘米。如果上底和下底不变，高缩小2倍，面积是      平方厘米。

例8  选择：平行四边形的底（     ），高缩小3倍，面积缩小9倍。

A. 扩大3倍     B. 不变     C. 缩小3倍

[分析]平行四边形的高缩小3倍，面积缩小9倍，9是3的3倍，底就要缩小3倍。这实际上是应用了“积的变化规律②”。答案是：C.缩小3倍。

[练习]请试着解下面的选择题：

1. 长方形的长与宽同时扩大2倍，它的面积（     ）。

A. 扩大2倍     B. 不变     C. 扩大4倍

2. 长方形的长缩小4倍，宽扩大2倍，它的面积（     ）。

A. 扩大2倍     B. 不变     C. 缩小2倍

例9  判断：正方形的边长扩大3倍，它的面积也扩大3倍。（  ）

[分析]正方形的边长扩大3倍，计算正方形面积时实际上是两个因数同时扩大3倍，积（面积）扩大9倍。用算式证明：（边长×3）×（边长×3）=（边长×边长）×（3×3）=面积×9，即面积扩大9倍。这实际上是应用“积的变化规律②”。

[练习]请试着解下面的判断题：

1. 正方形的边长缩小2倍，它的面积也缩小2倍。（  ）

2. 三角形的底缩小5倍，面积就缩小5倍。

3. 梯形的下底和高不变，上底扩大4倍，面积就扩大4倍。

 

注释：

① 教材中的“积的变化规律”

②③拓展的“积的变化规律”